恒等式　ax²+bx+c=0が恒等式のときa=b=c=0の証明 / 数学II by OKボーイ |マナペディア|

更新日時：2013-06-02
	恒等式　ax²+bx+c=0が恒等式のときa=b=c=0の証明
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恒等式

$\left(x+y\right) ^{2} =x ^{2} +2xy+y ^{2}$
$\left(a-b\right) ^{2} =a ^{2} -2ab+b ^{2}$
のように、ｘ、ｙ、ａ、ｂの文字にどんな数値を代入しても等式が成り立つ時、その等式をそれらの文字の恒等式であるといいます。
例えば
$\left(a-1\right) \left(a-3\right) =a ^{2} -4a+3$ 　は恒等式ですが
$\left(a+b\right) ^{2} =a ^{2} +b ^{2}$ 　は恒等式とは言いません。

ここまではご理解頂けましたか？

恒等式における決め事

$ax ^{2} +bx+c=0$ 　がｘについての恒等式である場合、 $a=b=c=0$

これは恒等式における決め事です。
これを証明してみましょう。

証明

$ax ^{2} +bx+c=0$ 　がｘについての恒等式ということは、この等式のｘにどんな値をいれてもこの等式は成り立つはずです。
試しにｘ＝０、ｘ＝１、ｘ＝－１を代入してみましょう。

■ｘ＝０のとき

$ax ^{2} +bx+c=c=0$ 　…ⅰ

■ｘ＝１のとき

$ax ^{2} +bx+c=a+b+c=0$ 　…ⅱ

■ｘ＝－１のとき

$ax ^{2} +bx+c=a-b+c=0$ 　…ⅲ

この３つの連立方程式を解くと、
ⅰとⅱより $a+b=0$ 　…ⅳ
ⅰとⅲより $a-b=0$ 　…ⅴ

ⅳとⅴより $a=b=0$
$c=0$ はⅰより確定していますので、以上のことから
$a=b=c=0$ 　であることが証明されました。

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