ここでは、条件付きの等式の証明についてみていきます。「等式の証明」がうまく理解できていない人は、先に「わかりやすい等式の証明[恒等式]」を見ておくとよいでしょう。



等式を証明するには、次の３パターンのいずれかを使うんでしたね。




そして今回のように、"x＋y＋z＝０のとき"と条件が与えられている場合には、与えられた条件をヒントに証明ができないかを考えます。


"x＋y＋z＝０"なのでこれを変形して、"z＝−(x＋y)"としておきましょう。これを与えられた式に代入して、証明がうまくいくかをやってみましょう。


まずは１の方法で証明をします。
右辺"−xyz"を変形して、左辺"xy(x＋y)"となるかを確認します。

先ほど、与えられた条件を変形して求めた、"z＝−(x＋y)"を右辺に代入します。

−xyz＝−xy×{−(x＋y)}＝xy(x＋y)＝左辺

以上から、左辺＝右辺なので、この等式が成り立つことが証明されました。



続いて２の方法で証明をしてみましょう。
左辺"xy(x＋y)"と右辺"−xyz"をそれぞれ変形します。

○左辺
xy(x＋y)＝x²y＋xy²

○右辺
与えられた条件を変形して求めた、"z＝−(x＋y)"を代入します。
−xyz＝−xy×{−(x＋y)}＝xy(x＋y)＝x²y＋xy²

以上から、左辺＝右辺なので、この等式が成り立つことが証明されました。



最後に３の方法で証明をしてみましょう。
"左辺−右辺＝０"となるかを確認します。

xy(x＋y)−(−xyz)＝x²y＋xy²＋xyz

与えられた条件を変形して求めた、"z＝−(x＋y)"を代入します。

　x²y＋xy²＋xyz
＝x²y＋xy²−xy(x＋y)
＝x²y＋xy²−x²y−xy²
＝０

左辺−右辺＝０なので、この等式が成り立つことが証明されました。



条件付きの等式の証明でも、等式の照明方法は同じです。３通りの証明方法がありますが、自分の得意な形を選ぶか、問題をみて、一番簡単に証明ができる方法を選択するのが良いでしょう。