条件付きの等式の証明 / 数学II by OKボーイ |マナペディア|

更新日時：2012-06-02
	条件付きの等式の証明
著作名： OKボーイ 31,536 views

条件付きの等式

○○○のときに次の等式が成り立つことを証明しなさい

このように、条件付きの証明問題も多く出されます。与えられる条件は大きなヒントとなりますので、見落とさないようにすることが大切です。早速チェックしてみましょう。

$a+b+c=0$ のとき $bc \left(b+c\right) +ca \left(c+a\right) +ab \left(a+b\right) =-3abc$ であることを証明してみましょう

先ほど書いたように、与えられた条件というのは大きなヒントになります。
解き方としては、与えられた $a+b+c=0$ 　を変形して $a=-b-c$ (もちろん $b=-a-c$ 、 $c=-a-b$ でもいいです)を式に代入します。

条件を変形して等式に代入

$a+b+c=0$ 　より $a=-b-c$ 　なので、これを等式の左辺と右辺に代入します。

左辺＝　 $bc \left(b+c\right) +c \left(-b-c\right) \left(c-b-c+\right) +b \left(-b-c\right) \left(-b-c+b\right)$
$=bc \left(b+c\right) -c \left(b+c\right) \left(-b\right) -b \left(b+c\right) \left(-c\right)$
$=bc \left(b+c\right) +bc \left(b+c\right) +bc \left(b+c\right)$
$=3bc \left(b+c\right)$

右辺＝　 $-3 \left(-b-c\right) bc=3bc \left(b+c\right)$

以上のことから左辺＝右辺が成り立つことが証明されました。

条件が与えられたらそれは最大のヒント。必ず活用するようにしましょう

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