対数の性質公式の証明[logaM/N=logaM−logaN] / 数学II by ふぇるまー |マナペディア|

更新日時：2014-07-22
	対数の性質公式の証明[logaM/N=logaM−logaN]
著作名：ふぇるまー 28,741 views

対数の性質

logを含んだ式を計算するために覚えておく公式が３つありました。
ここではそのうちの１つ、

a＞０、a≠１、M＞０のとき
$\log _{a} \frac{M}{N} = \log _{a} M- \log _{a} N$

の証明をしてみましょう。

対数の性質の証明

$p=\log _{a} M$
$q=\log _{a} N$

とします。このlogを含んだ式を指数の形にしてみましょう。

$a ^{p} =M$
$a ^{q} =N$

となります。ここで「M÷N」を計算してみます。

$\frac{M}{N} = \frac{a ^{p} }{a ^{q} }$

$\frac{a ^{m} }{a ^{n} } =a ^{m-n}$
という指数法則より、

$\frac{M}{N} = \frac{a ^{p} }{a ^{q} } =a ^{p-q}$ 　ー①

少し文字が増えてきたので、わかりやすくするために、

$\frac{M}{N}=A$
$p-q=x$

と置き換えてみましょう。①式は

$A=a ^{x}$

と置き換える事ができますね。今度はこの式を、logを含んだ形に変形します。

$\log _{a} A=x$ 　ー②

$\frac{M}{N}=A$
$p-q=x$

なので②式は、

$\log _{a} \frac{M}{N}=p-q$

ここで最初に

$p=\log _{a} M$
$q=\log _{a} N$

とおいたことを思い出しましょう。

$\log _{a} \frac{M}{N} =p-q=\log _{a} M- \log _{a} N$

が成り立つことがわかりますよね。

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