比例式が条件の等式の証明 / 数学II by ふぇるまー |マナペディア|

更新日時：2014-04-08
	比例式が条件の等式の証明
著作名：ふぇるまー 30,978 views

比例式とは

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$
のとき次の等式を証明しなさい。

$\frac{a+b}{a-b} = \frac{c+d}{c-d}$

"a/b＝c/d"は"a：b＝c：d"と同じ意味ですが、比の値が等しいことを示す式を比例式といいます。ここでは、比例式が条件となっている等式の証明問題についてみていきましょう。

等式の証明

比例式を定数kを用いて表す

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} =k$

とします。kは、pでもmでも何でもいいのですが、kを使っている本が多いのでkとしましょう。(k≠０)すると、

"a/b＝k"より、"a＝bk"　・・・①
"c/d＝k"より、"c＝dk"　・・・②

これを、与えられた式に代入します。

■左辺

$\frac{a+b}{a-b} = \frac{bk+b}{bk-b} = \frac{b \left(k+1\right) }{b \left(k-1\right) } = \frac{k+1}{k-1}$

■右辺

$\frac{c+bd}{c-d} = \frac{dk+d}{dk-d} = \frac{d \left(k+1\right) }{d \left(k-1\right) } = \frac{k+1}{k-1}$

以上から、左辺＝右辺なので、この等式が成り立つことが証明されました。

比例式は、定数kを用いて考える

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