整式P(x)＝２x²＋３x＋４のとき、
"P(x)＝２x²＋３x＋４＝０"
これは２次式ですね。

整式P(x)＝３x³＋３x²＋２x＋１のとき、
"P(x)＝３x³＋３x²＋２x＋１＝０"
これは３次式ですね。

P(x)がn次の式のとき、"P(x)＝０"のことをn次式方程式といいます。その中でも特に、nが３次以上の方程式を高次方程式といいます。そしてこの単元では、高次方程式を解く方法についてみていきます。


高次方程式を解くには、
・因数分解の公式を用いて因数分解してから計算
・因数定理を用いて因数分解してから計算

の２パターンがありますが、ここでは因数定理を用いた高次方程式の解き方をみていきます。因数分解を用いた高次方程式の解き方については、リンク先を参照してください。





"P(x)＝x³＋３x²＋x−５"とすると、"x＝１"のときに

"P(１)＝１＋３＋１−５＝０"となります。よって因数定理により

P(x)＝(x−１)(x²＋４x＋５)

と左辺を因数分解することができました。

(x−１)(x²＋４x＋５)＝０

この方程式を満たすxの値は、"x−１＝０"または"x²＋４x＋５＝０"を満たすxの値となります。

・x−１＝０
x＝１

・x²＋４x＋５＝０
解の公式より、
x＝−２± i

以上から、"x＝１、−２± i"が答えとなります。



"P(x)＝x³−３x²＋４"とすると、"x＝−１"のときに

"P(−１)＝−１−３＋４＝０"となります。よって因数定理により

P(x)＝(x＋１)(x²−４x＋４)＝(x＋１)(x−２)²

と左辺を因数分解することができました。

(x＋１)(x−２)²＝０

この方程式を満たすxの値は、"x＋１＝０"または"(x−２)²＝０"を満たすxの値となります。

・x＋１＝０
x＝−１

・(x−２)²＝０
x＝２

以上から、"x＝−１、２"が答えとなります。



ちなみに、"(x＋１)(x−２)²＝(x＋１)(x−２)(x−２)＝０"なので、この式からは"x＝２"を２回求めることができますよね。このような解のことを２重解といいます。

"(x＋１)(x−２)³＝０"の場合は、"x＝２"を３回求めることができるので、３重解といいます。