前回のテキストでは、解が実数のときの高次方程式の求め方をみました。今回は、「解に虚数が含まれているときに高次方程式を求める方法」についてみていきます。





考え方は実数のときと同じで、"x＝１＋i"を式に代入します。

(１＋i)³−a(１＋i)²＋b(１＋i)−６＝０
２i−２−２ai＋b＋bi−６＝０

iがつくものとつかないものとに整理します。

−２＋b−６＋２i−２ai＋bi＝０
−２＋b−６＋(２−２a＋b)i＝０

設問より、aとbは実数なので、"−２＋b−６"も"(２−２a＋b)"も実数となります。さぁ、ここで思い出しましょう。


複素数の相等を参照。

これを利用すると

・−２＋b−６＝０
・２−２a＋b＝０

という２つの式がたちます。これを解くと、"a＝５、b＝８"が求まります。


続いてこの方程式の解を求めていきます。

先ほどaとbの値を求めたので、もとの式は"x³−５x²＋８x−６＝０"となります。

"P(x)＝x³−５x²＋８x−６"としたとき、x＝３のときに

P(３)＝３³−５・３²＋８・３−６＝０

となるので、この方程式の左辺は、"(x−３)"を因数にもつことがわかります。(ここがわからない人は、因数定理を用いた因数分解を復習しておきましょう)

x³−５x²＋８x−６＝(x−３)(x²−２x＋２)＝０

※"x²−２x＋２"は、"(x³−５x²＋８x−６)÷(x−３)"で求めます。

あとは"(x−３)(x²−２x＋２)＝０"を解くだけですね。
この式を満たすxの値は、

・x−３＝０
・x²−２x＋２＝０

を解くことで求まります。


x−３より、x＝３


解の公式より、x＝１±i


設問では残りの解を求めよとなっていたので、"x＝３、１−i"が答えとなります。



今の問題をもう少し掘り下げてみましょう。

"x³−５x²＋８x−６＝０"の解は、"x＝３、１±i"でした。ここで注目したいのは"１±i"です。

"１＋i"と"１−i"、これらは共役な複素数ですね。今回の問題のように、係数が実数である方程式が虚数解"a＋bi"をもつとき、その共役な複素数である"a−bi"もまた方程式の解となることを覚えておきましょう。

これを利用すると、「"１＋i"を解にもつ」と出題された場合、即座に「もう１つの解は"１−i"だな」と求める事ができます。