方程式の解から、高次方程式を求める問題を解いてみましょう。



この問題を考える前に、次の問題をみてみます。


"x＝１"を与えられた式に代入することでaの値が求められますよね。３次方程式でもこの考えは同じです。


３次方程式"x³−ax²＋bx＋６＝０"の解が、"x＝−１、x＝２"なので、これらを式に代入していきます。


(−１)³−a(−１)²−b＋６＝０
−１−a−b＋６＝０
a＋b＝５　ー①


２³−a・２²−２b＋６＝０
８−４a−２b＋６＝０
−４a−２b＝−１４
２a−b＝７　ー②

①と②より"a＝４、b＝１"

以上より、もとの３次方程式は"x³−４x²＋x＋６＝０"と求まりました。


続いてこの方程式の解を求めていきます。

この方程式は、"x＝−１"と"x＝２"を解にもつことから、(x＋１)と(x−２)を因数にもつことがわかります。ここがポイントです。つまり左辺が


x³−４x²＋x＋６＝(x＋１)(x−２)(x＋k)

と因数分解できるはずです。(x＋k)はあくまでも例えです。

(x＋k)＝x³−４x²＋x＋６÷(x＋１)(x−２)＝x−３

よって方程式の左辺は次のように因数分解できます。

x³−４x²＋x＋６＝(x＋１)(x−２)(x−３)

そして"(x＋１)(x−２)(x−３)＝０"を満たすxの値は、"x＝−１、２、３"なので、求めるもう１つの解は"３"となります。