整式P(x)を"x−a"で割ったときの商を"Q(x)"、余りをRとすると

P(x)＝Q(x) (x−a)＋R

そして剰余の定理により

P(a)＝R

が成り立ちました。
ここで、"R＝０"の場合を考えてみましょう。

"P(a)＝R＝０"ということは、余りが０なので整式P(x)は"x−a"で割り切れるということです。このことから何がわかるかというと



これがわかります。この関係のことを因数定理といいます。



この因数定理が何に役に立つかというと、次のような問題を解くときに有効です。



"x³＋３x²−x−３"は、ぱっと見で因数分解するのは難しそうですね。そこで、"P(x)＝x³＋３x²−x−３"とおいたときに、P(x)＝０となるxの値を探してみましょう。

どうやら"x＝１"のときに、"P(x)＝０"となりそうですね。ここで因数定理を使います。"P(１)＝０"ということから、"P(x)"が"x−１"を因数にもつことがわかります。あとは

"x³＋３x²−x−３"÷"x−１"をして因数分解しましょう。

　(x³＋３x²−x−３)
＝(x−１)(x²＋４x＋３)
＝(x−１)(x＋１)(x＋３)