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２次不等式の応用[解から２次不等式を求める問題] |
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著作名：
ふぇるまー
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解から２次不等式を求める
問題
"ax²＋bx＋１８＞０"の解が"−２＜x＜３"のとき、a、bの値を求めなさい
"ax²＋bx＋１８＞０"の解が"−２＜x＜３"のとき、a、bの値を求めなさい
この問題を考えてみましょう。いつもは「２次不等式→解」の流れでしたが、今回は逆で「解→２次不等式を考える」という流れですね。
まず、どのような２次不等式を解いたら"−２＜x＜３"が答えとなるかを考えます。
■不等号の向き
求める２次不等式の左辺を"ax²＋bx＋c"と仮定したとき、不等号の向きは"ax²＋bx＋c＜０"となるか、それとも"ax²＋bx＋c＞０"となるのかを考えます。
不等式の解が"−２＜x＜３"ということは、"ax²＋bx＋c＜０"となりそうですね。"ax²＋bx＋c＞０"であれば解が"x＜−２、３＜x"となるはずです。
そして"−２＜x＜３"が解ということは"(x−３)(x＋２)＜０"が求める２次不等式となりそうです。
あとは、設問で与えられた条件"ax²＋bx＋１８＞０"にあうように"(x−３)(x＋２)＜０"を変形させていきます。
■"(x−３)(x＋２)＜０"の左辺を展開して
x²−x−６＜０
■両辺に−１をかけて
−x²＋x＋６＞０
■両辺に３をかけて
−３x²＋３x＋１８＞０
以上のことから、"a＝−３"、"b＝３"であることがわかりますね。
式が正しいかは、求めた式を計算してみることで確かめることができます。
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