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2次不等式の応用[解から2次不等式を求める問題] |
著作名:
ふぇるまー
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解から2次不等式を求める
問題
"ax²+bx+18>0"の解が"−2<x<3"のとき、a、bの値を求めなさい
"ax²+bx+18>0"の解が"−2<x<3"のとき、a、bの値を求めなさい
この問題を考えてみましょう。いつもは「2次不等式→解」の流れでしたが、今回は逆で「解→2次不等式を考える」という流れですね。
まず、どのような2次不等式を解いたら"−2<x<3"が答えとなるかを考えます。
■不等号の向き
求める2次不等式の左辺を"ax²+bx+c"と仮定したとき、不等号の向きは"ax²+bx+c<0"となるか、それとも"ax²+bx+c>0"となるのかを考えます。
不等式の解が"−2<x<3"ということは、"ax²+bx+c<0"となりそうですね。"ax²+bx+c>0"であれば解が"x<−2、3<x"となるはずです。
そして"−2<x<3"が解ということは"(x−3)(x+2)<0"が求める2次不等式となりそうです。
あとは、設問で与えられた条件"ax²+bx+18>0"にあうように"(x−3)(x+2)<0"を変形させていきます。
■"(x−3)(x+2)<0"の左辺を展開して
x²−x−6<0
■両辺に−1をかけて
−x²+x+6>0
■両辺に3をかけて
−3x²+3x+18>0
以上のことから、"a=−3"、"b=3"であることがわかりますね。
式が正しいかは、求めた式を計算してみることで確かめることができます。
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