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x²+2x+a-1=0,x²+3ax+a²+5a=0が実数解をもつときａの範囲を求める |
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著作名：
はっちゃん
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２つの２次方程式、x²+2x+a-1=0とx²+3ax+a²+5a=0がともに実数解をもつときの定数ａの範囲を求めよ。
「実数解とは何？」と思うかもしれないが、要するに解をもつということ。解の数は書かれていないので、x²+2x+a-1=0とx²+3ax+a²+5a=0がともに解を１つもしくは２つもつとき、と解釈できる。
さて、解の数といって真っ先に思い浮かべなければならないのは何であったろうか？そう、判別式（b²-4ac）である。解が１つないし２つあるということは、b²-4ac≧0となることをパッと頭にイメージできるようにしておきたい。
■x²+2x+a-1=0
まず、x²+2x+a-1=0についてみていこう。この式が解をもつためには、判別式Ｄがb²-4ac≧0である必要がある。
Ｄ=4-(a-1)=-4a-4≧0
これを解くとａ≦２・・・①が求まる。
■x²+3ax+a²+5a=0
続いてx²+3ax+a²+5a=0をみていく。同じように、この式が解をもつためには、判別式Ｄがb²-4ac≧0である必要がある。
Ｄ=(3a)²-4(a²+5a)=9a²-4a²-20a=5a²-20a
5a²-20a≧0を解くと、0≦ａ≦4・・・②が求まる。
①かつ②を満たすａの範囲で、２つの２次方程式x²+2x+a-1=0とx²+3ax+a²+5a=0はともに実数解をもつ。つまり、①と②のどちらも満たす０≦ａ≦２が答えとなる。
※①と②の共通の範囲が答えとなるのがポイントである。
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