２直線が垂直に交わるときの条件を用いて、垂心の証明をしてみましょう。





つまり、△ABCの垂心を証明しなさいということですね。




※わかりやすくするために、AからBCにおろした垂線が、y軸とかぶるような三角形をモデルに作図してあります。

A、B、Cの座標をそれぞれA(０，a)、B(b，０)、C(c，０)とします。
(a≠０、b≠０、c≠０)


ABの傾きは、



ここでRCの傾きをm₁としたとき、ABとRCは垂直に交わることから、





またRCは点C(c，０)を通るので、傾きとあわせて、直線の方程式を求めます。







CAの傾きは、

　ー①

ここでBQの傾きをm₂としたとき、CAとBQは垂直に交わることから、





またRCは点B(b，０)を通るので、傾きとあわせて、直線の方程式を求めます。

　−②


①と②より、RCとBQは



を切片とする直線であることがわかりました。つまりこの点で①と②は交わることになります。そしてこの点はもちろんy軸上の点なので、APもまたこの点を通ります。

以上から、AP、BQ、CRが１点で交わることが証明できました。