判別式の応用[２次方程式"2x²+2mx+2m+4=0"が重解をもつためのmの範囲を求める問題] / 数学I by ふぇるまー |マナペディア|

更新日時：2014-03-12
	判別式の応用[２次方程式"2x²+2mx+2m+4=0"が重解をもつためのmの範囲を求める問題]
著作名：ふぇるまー 106,609 views

判別式を用いた応用問題

判別式"D＝b²−４ac"を使った応用問題を一緒に解いてみましょう。

問題
２次方程式"２x²＋２mx＋２m＋４＝０"が重解をもつような定数mの値を求めましょう。そしてそのときの重解を求めなさい。

■mの値を求める

別のテキストで２次方程式"２x²＋４x−m＝０"が異なる２つの実数解をもつような定数mの範囲を求めましょう。という問題にチャレンジしていますが、考え方は同じです。

２次方程式が重解を持つための条件を思い出しましょう。
そう、"D＝０"でしたね。これを設問の式にあてはめてみます。

D＝b²−４acにおいて、a＝２、b＝２m、c＝２m＋４を代入すると

(２m)²−４・２・(２m＋４)＝４m²−１６m−３２

D＝０より
４m²−１６m−３２＝０
m²−４m−８＝０

解の公式を用いてmの値を求めていきます。

$m= \frac{4}{2} \pm \frac{ \sqrt{ \left(-4\right) ^{2} -4 \cdot 1 \cdot \left(-8\right) } }{2}$
$= \frac{4}{2} \pm \frac{ \sqrt{16+32} }{2}$
$= \frac{4}{2} \pm \frac{ \sqrt{48} }{2}$
$=2 \pm \frac{4 \sqrt{3} }{2}$
$=2 \pm 2 \sqrt{3}$

つまり"m＝２±２√３"のとき、２次方程式"２x²＋２mx＋２m＋４＝０"が重解をもつということになります。

■方程式の解を求める

mの値がわかったところで、"２x²＋２mx＋２m＋４＝０"の解を求めましょう。
"m＝２±２√３"どちらでも式は成り立つようなので、まず"m＝２＋２√３"を式に代入して計算をしていきましょう。

■m＝２＋２√３のとき

"２x²＋２mx＋２m＋４＝０"に"m＝２＋２√３"を代入すると

２x²＋２(２＋２√３)x＋２(２＋２√３)＋４＝０
x²＋(２＋２√３)x＋２＋２√３＋２＝０
x²＋(２＋２√３)x＋４＋２√３＝０

あとは、解の公式を用いて答えを求めます。

$x= -\frac{ \left(2+2 \sqrt{3} \right) }{2} \pm \frac{ \sqrt{ \left(2+2 \sqrt{3} \right) ^{2} -4 \cdot 1 \cdot \left(4+2 \sqrt{3} \right) } }{2}$
$x=-1- \sqrt{3} \pm \frac{ \sqrt{4+8 \sqrt{3} +12-16-8 \sqrt{3} } }{2}$
$x=-1- \sqrt{3} \pm \frac{0}{2}$
$x=-1- \sqrt{3}$

以上から、"m＝２＋２√３"のとき、"−１−√３"が２次方程式の解となります。

■m＝２−２√３のとき

続いて"２x²＋２mx＋２m＋４＝０"に"m＝２−２√３"を代入して計算します。

２x²＋２(２−２√３)x＋２(２−２√３)＋４＝０
x²＋(２−２√３)x＋２−２√３＋２＝０
x²＋(２−２√３)x＋４−２√３＝０

解の公式を用いて答えを求めます。

$x= -\frac{ \left(2-2 \sqrt{3} \right) }{2} \pm \frac{ \sqrt{ \left(2-2 \sqrt{3} \right) ^{2} -4 \cdot 1 \cdot \left(4-2 \sqrt{3} \right) } }{2}$
$x=-1+ \sqrt{3} \pm \frac{ \sqrt{4-8 \sqrt{3} +12-16+8 \sqrt{3} } }{2}$
$x=-1+ \sqrt{3} \pm \frac{0}{2}$
$x=-1+ \sqrt{3}$

以上から、"m＝２−２√３"のとき、"−１＋√３"が２次方程式の解となります。

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