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判別式の応用[２次方程式"2x²+2mx+2m+4=0"が重解をもつためのmの範囲を求める問題] |
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著作名：
ふぇるまー
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判別式を用いた応用問題
判別式"D＝b²−４ac"を使った応用問題を一緒に解いてみましょう。
問題
２次方程式"２x²＋２mx＋２m＋４＝０"が重解をもつような定数mの値を求めましょう。そしてそのときの重解を求めなさい。
２次方程式"２x²＋２mx＋２m＋４＝０"が重解をもつような定数mの値を求めましょう。そしてそのときの重解を求めなさい。
■mの値を求める
別のテキストで２次方程式"２x²＋４x−m＝０"が異なる２つの実数解をもつような定数mの範囲を求めましょう。という問題にチャレンジしていますが、考え方は同じです。
２次方程式が重解を持つための条件を思い出しましょう。
そう、"D＝０"でしたね。これを設問の式にあてはめてみます。
D＝b²−４acにおいて、a＝２、b＝２m、c＝２m＋４を代入すると
(２m)²−４・２・(２m＋４)＝４m²−１６m−３２
D＝０より
４m²−１６m−３２＝０
m²−４m−８＝０
解の公式を用いてmの値を求めていきます。
つまり"m＝２±２√３"のとき、２次方程式"２x²＋２mx＋２m＋４＝０"が重解をもつということになります。
■方程式の解を求める
mの値がわかったところで、"２x²＋２mx＋２m＋４＝０"の解を求めましょう。
"m＝２±２√３"どちらでも式は成り立つようなので、まず"m＝２＋２√３"を式に代入して計算をしていきましょう。
■m＝２＋２√３のとき
"２x²＋２mx＋２m＋４＝０"に"m＝２＋２√３"を代入すると
２x²＋２(２＋２√３)x＋２(２＋２√３)＋４＝０
x²＋(２＋２√３)x＋２＋２√３＋２＝０
x²＋(２＋２√３)x＋４＋２√３＝０
あとは、解の公式を用いて答えを求めます。
以上から、"m＝２＋２√３"のとき、"−１−√３"が２次方程式の解となります。
■m＝２−２√３のとき
続いて"２x²＋２mx＋２m＋４＝０"に"m＝２−２√３"を代入して計算します。
２x²＋２(２−２√３)x＋２(２−２√３)＋４＝０
x²＋(２−２√３)x＋２−２√３＋２＝０
x²＋(２−２√３)x＋４−２√３＝０
解の公式を用いて答えを求めます。
以上から、"m＝２−２√３"のとき、"−１＋√３"が２次方程式の解となります。
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