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２次関数のグラフの対称移動[y=ax²+bx+cのグラフをx軸、y軸、原点に関して対称移動] |
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著作名：
ふぇるまー
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対称移動とは
座標上の点Aと、点A'の関係について考えてみましょう。
点Aと点A'のy座標は等しく、点Aのx座標はa、点A'のx座標は-aなので、この２つの点はy軸から等しい距離にあることがわかります。別の言い方をすると、点Aをy座標を基準に対称に移動した点が点A'であるといえます。
同じように点Aと点Bの関係を考えてみると、点Aをx座標を基準に対称に移動した点が点Bです。
このように、「○○に関して対称に移動させる」ことを対称移動といいます。
グラフの対称移動
対称移動を行うのは点だけではなくグラフも同様です。点の対称移動に比べてグラフの対称移動のほうがややこしさは増します。そのために点の対称移動よりもグラフの対称移動のほうが圧倒的に問題に出されるので、しっかりとおさえるようにしておきましょう。
次のグラフを見てください。
①の位置にあるグラフを対称移動します。
x軸に関して対称移動すると②の位置に、y軸に関して対称移動すると③の位置に、原点に関して対称移動すると④の位置にグラフは移動します。
「x軸」、「y軸」、「原点」この３つに関してというのはベーシックな問題でよく質問されるところです。
グラフの位置がどのように移動するかは理解できましたね。
次は、グラフの式をどうやって求めるかについて説明していきます。
説明するもなにも、次の３つの決まり事を覚えるだけです。
仮に①のグラフの式をy=ax²+bx+cとすると
x軸に関して対称移動して②としたときは、yを−yに入れ替えて
−y=ax²+bx+c
−y=ax²+bx+c
y軸に関して対称移動して③としたときは、xを−xに入れ替えて
y=a(−x)²+b(−x)+c
y=a(−x)²+b(−x)+c
原点に関して対称移動して④としたときは、xを−xに、yを−yに入れ替えて
−y=a(−x)²+b(−x)+c
−y=a(−x)²+b(−x)+c
では早速、練習問題を通して、対称移動した後の２次関数のグラフの式を求める方法を身につけていきましょう。
練習問題
問題 y＝x²−２x＋２のグラフを(１)x軸に関して、(２)y軸に関して、(３)原点に関してそれぞれ対称移動したときの式を求めなさい。
■(１)x軸に関して対称移動
x軸に関して対称移動ということは、先ほどの決まり事より、y＝x²−２x＋２のyを−yに置き換えればOKですね。
−y＝x²−２x＋２を整理すると
y＝−x²＋２x−２
■(２)y軸に関して対称移動
y軸に関して対称移動ということは、先ほどの決まり事より、y＝x²−２x＋２のxを−xに置き換えればOKですね。
y＝(−x)²−２(−x)＋２を整理すると
y＝x²＋２x＋２
■(３)原点に関して対称移動
原点に関して対称移動ということは、先ほどの決まり事より、y＝x²−２x＋２のxを−xに、yをーyに置き換えればOKですね。
−y＝(−x)²−２(−x)＋２を整理すると
y＝−x²−２x−２
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