"xを自然数とするとき、「xが６の倍数』ならば「xは３の倍数」"

この命題は真です。「xが６の倍数」という条件をp、「xが３の倍数」という条件をqとすると、この命題を「p⇒q」と表します。「p⇒q」のとき命題が真であるということは、「pという条件のもとでqはつねに成り立つ」を意味していると思いましょう。

このとき、pを命題の仮定、qを命題の結論といいます。
ちなみにpとqの関係をベン図に表すと次のようになります。


pはqに含まれていますね。



aを自然数とするとき、「p：aは偶数」と「q：aは２の倍数」の２つの条件がるとします。これらの条件の関係をみてみましょう。

「p⇒q」も、「q⇒p」も成り立ちますね。このような場合には、「p⇔q」とかきます。「p⇔q」は、pならばqが真、かつqならばpが真であることを意味します。


xを自然数とするとき
「p：xは５の倍数」⇒「q：xは１０の倍数」

この命題は偽ですが、偽のときは、ただ「命題は偽である」というだけではダメです。命題が偽である理由を示さなければなりません。

「p：xは５の倍数」⇒「q：xは１０の倍数」は、x＝１５、２５、３５・・・のときに成り立たちません。しかし命題が偽となるxの値を延々と書き続けるわけにはいかないので、最低でも１つ、命題が成り立たない理由を書きます。

「命題は偽である（x＝１５のとき）」

この命題が偽であることを示す理由のことを反例といいます。