２次方程式の解と係数の関係の証明 / 数学I by となりがトトロ |マナペディア|

更新日時：2013-11-05
	２次方程式の解と係数の関係の証明
著作名：となりがトトロ 23,329 views

２次方程式の解と係数の関係

ａ≠０のとき、２次方程式 $ax ^{2} +bx+c=0$ の２つの解をα、βとすると

$\cdot \alpha + \beta =- \frac{b}{a}$
$\cdot \alpha \beta = \frac{c}{a}$

このテキストでは、この計算が成り立つかを証明します。

証明

解の公式より、ａ≠０のとき $ax ^{2} +bx+c=0$ の解は

$x=- \frac{b}{2a} \pm \frac{ \sqrt{b ^{2} -4ac} }{2a}$

となる。
$\alpha=- \frac{b}{2a} + \frac{ \sqrt{b ^{2} -4ac} }{2a}$
$\beta=- \frac{b}{2a} - \frac{ \sqrt{b ^{2} -4ac} }{2a}$
としたとき、（※αとβが逆でもよい）

■α＋β

$\alpha + \beta$
$=- \frac{b}{2a} + \frac{ \sqrt{b ^{2} -4ac} }{2a} - \frac{b}{2a} - \frac{ \sqrt{b ^{2} -4ac} }{2a}$
$= \frac{-2b}{2a}$
$=- \frac{b}{a}$

■αβ

$\alpha \beta$
$=\left( - \frac{b}{2a} + \frac{ \sqrt{b ^{2} -4ac} }{2a}\right) \left(- \frac{b}{2a} - \frac{ \sqrt{b ^{2} -4ac} }{2a} \right)$
$= \frac{ \left(-b\right) ^{2} - \left( \sqrt{b ^{2} -4ac} \right) ^{2} }{ \left(2a ^{} \right) ^{2} }$
$= \frac{b ^{2} - \left(b ^{2} -4ac\right) }{4a ^{2} }$
$= \frac{4ac}{4a ^{2} }$
$= \frac{c}{a}$

このことから、ａ≠０のとき、２次方程式 $ax ^{2} +bx+c=0$ の２つの解をα、βとすると
$\cdot \alpha + \beta =- \frac{b}{a}$
$\cdot \alpha \beta = \frac{c}{a}$

が成り立つことがわかった。
証明おわり。

このテキストを評価してください。

役に立った

う～ん・・・

※テキストの内容に関しては、ご自身の責任のもとご判断頂きますようお願い致します。

このテキストのキーワード

同じカテゴリーのテキスト

２次方程式の解き方

因数分解も解の公式も使えない２次方程式の解き方

「判別式」はどうしていつもDなの？

判別式の応用[２次方程式が実数解をもつための範囲を求める問題]

２次方程式「解の公式の証明」

最近見たテキスト

２次方程式の解と係数の関係の証明 10分前以内	>
高校古文『世の中に思ひやれども子を恋ふる思ひにまさる思ひなきかな』わかりやすい現代語訳と品詞分解 10分前以内	>

デイリーランキング

	枕草子　原文全集「下襲は/扇の骨/檜扇は」	>
	スラヴ人とは　わかりやすい世界史用語1695	>
	古文単語「ふくらかなり/膨らかなり」の意味・解説【形容動詞ナリ活用】	>
4	実数を２乗したときの不等式	>
5	関係代名詞で"whose"を使う場合	>
6	迷子の方を助ける	>
7	【球磨村】あなたは読める？難読地名の読み方と由来	>
8	受験に出題された、覚えておきたい四字熟語①	>
9	物質の状態変化	>
10	東ヨーロッパ世界の発展（ビザンツ帝国、ユスティニアヌス帝、ビザンツ文化など）　受験対策問題　43	>

注目テキスト

蜻蛉日記原文全集「大夫、一日の御かへり、いかでたまはらん。」	>
「堪る」あなたは読める？正しい読み方と意味を解説	>
古文単語「あざる/鯘る」の意味・解説【ラ行下二段活用】	>
暗黒時代とは　わかりやすい世界史用語220	>
「担う」あなたは読める？正しい読み方と意味を解説	>
解と係数の関係を用いた練習問題[虚数解をもつ２次方程式ver.]	>
円と直線の共有点[x²+y²=4とy=x+kが接するときkの値を求める問題]	>
古文単語「こころさかし/心賢し」の意味・解説【形容詞シク活用】	>
中国人商人の東南アジア進出とは　わかりやすい世界史用語1492	>
古文単語「いひいづ/言ひ出づ」の意味・解説【ダ行下二段活用】	>