三角比の公式　sin²A+cos²A=1の証明 / 数学I by となりがトトロ |マナペディア|

更新日時：2015-11-18
	三角比の公式　sin²A+cos²A=1の証明
著作名：となりがトトロ 55,083 views

sin²A+cos²A=1の証明

三角比で一番最初に学習する公式の１つ
$\sin ^{2} A+ \cos ^{2} A=1$

の証明をしていきましょう。

証明

図の△ＡＢＣにおいて、三平方の定理より
$a ^{2} +b ^{2} =c ^{2}$

またこのとき、
$\sin A= \frac{a}{c}$ より
$a=c \sin A$

$\cos A= \frac{b}{c}$ より
$b=c \cos A$

この２つを
$a ^{2} +b ^{2} =c ^{2}$
に代入をします。

$\left(c \sin A\right) ^{2} + \left(c \cos A\right) ^{2} =c ^{2}$
$c ^{2} \sin ^{2} A+c ^{2} \cos ^{2} A=c ^{2}$

両辺をc²で割ると
$\sin ^{2} A+ \cos ^{2} A=1$

が成り立ちます。

証明おわり。

練習問題

この公式を使った練習問題を解いてみましょう。

三角形ＡＢＣにおいて、次のことがわかっている。
Ａが鋭角、∠Ｃ＝９０°。
$\sin A= \frac{ \sqrt{3} }{2}$
このとき、cosAの値を求めなさい。

sinAの値がわかっているので
$\sin ^{2} A+ \cos ^{2} A=1$

の公式を用いて、cosAの値を求めていきます。公式にsinAの値を代入して

$\left( \frac{ \sqrt{3} }{2} \right) ^{2} + \cos ^{2} A=1$
$\frac{3}{4} + \cos ^{2} A=1$
$\cos ^{2} A= \frac{1}{4}$

設問で、∠Ａは鋭角であると書いてあるのでcosA＞0。よって
$\cos A= \frac{1}{2}$

答え：cosA=1/2

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