三角比の公式　sin(90°-A)＝cosAの証明（cos,tan含む） / 数学I by となりがトトロ |マナペディア|

更新日時：2015-12-15
	三角比の公式　sin(90°-A)＝cosAの証明（cos,tan含む）
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三角比の公式　sin(90°-A)＝cosAの証明

$\cos (90 ^{ \circ } -A) = \sin A$
$\sin (90 ^{ \circ } -A) = \cos A$
$\tan (90 ^{ \circ } -A) = \frac{1}{ \tan A}$

という公式の証明をしていきましょう。

証明

図のような∠Ｃ＝９０°の直角三角形において、次のことがいえる。

$\sin B= \frac{b}{c} , \cos A= \frac{b}{c}$
$\cos B= \frac{a}{c} , \sin A= \frac{a}{c}$
$\tan B= \frac{b}{a} , \tan A= \frac{a}{b}$

ここで、∠Ｂ＝９０°－Ａなので（∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ＝１８０°、∠Ｃ＝９０°から求める）、これをそれぞれに代入すると

$\sin \left(90 ^{ \circ } -A\right) = \frac{b}{c} = \cos A$
$\cos \left(90 ^{ \circ } -A\right) = \frac{a}{c} = \sin A$
$\tan \left(90 ^{ \circ } -A\right) = \frac{b}{a} = \frac{1}{ \tan A}$

が成り立つことがわかる。

証明おわり。

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