三角比の公式　1+tan²A=1/cos²Aの証明 / 数学I by となりがトトロ |マナペディア|

更新日時：2013-08-30
	三角比の公式　1+tan²A=1/cos²Aの証明
著作名：となりがトトロ 45,978 views

1+tan²A=1/cos²Aの証明

三角比で一番最初に学習する公式の１つ
$1+ \tan ^{2} A= \frac{1}{ \cos ^{2} A}$

の証明をしていきましょう。

証明

三角比の次の公式を用います。
$\sin ^{2} A+ \cos ^{2} A=1$

この両辺をcos²Aで割ると
$\frac{ \sin ^{2} A}{ \cos ^{2} A} + \frac{ \cos ^{2} A}{ \cos ^{2} A} = \frac{1}{ \cos ^{2} A}$
$\frac{ \sin ^{2} A}{ \cos ^{2} A} +1= \frac{1}{ \cos ^{2} A}$

ここで
$\tan A= \frac{ \sin A}{ \cos A}$ 　
なのでこれを代入すると

$\tan ^{2} +1= \frac{1}{ \cos ^{2} A}$
$1+ \tan ^{2} = \frac{1}{ \cos ^{2} A}$

が求まります。

証明おわり。

練習問題

この公式を使った練習問題を解いてみましょう。

三角形ＡＢＣにおいて、次のことがわかっている。
Ａが鋭角、∠Ｃ＝９０°。
$\cos A= \frac{1}{2}$
のとき、tanAの値を求めなさい

cosAの値がわかっているので
$1+ \tan ^{2} A= \frac{1}{ \cos ^{2} A}$

の公式に代入してtanAの値を求めます。

$1+ \tan ^{2} A=1 \div \left( \frac{1}{2} \right) ^{2}$
$1+ \tan ^{2} A=1 \div \frac{1}{4}$
$1+ \tan ^{2} A=4$
$\tan ^{2} A=3$

設問で、∠Ａは鋭角であると書いてあるのでtanA＞0。よって
$\tan A= \sqrt{3}$

答え：tanA=√3

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