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２次関数の最大値・最小値の求め方（ｘの範囲が与えられた場合） |
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著作名：
はっちゃん
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練習問題を通して理解を深めよう
次の２次関数の最大値または最小値を求めよ
（１）y=2x²-4x-1（ただし0≦ｘ≦3）
（２）y=-x²-4x（ただし-4≦ｘ≦-1）
（１）y=2x²-4x-1（ただし0≦ｘ≦3）
（２）y=-x²-4x（ただし-4≦ｘ≦-1）
ここでは、ｘの範囲が与えられた状態で２次関数の最大値・最小値を求める問題にチャレンジしていこう。
（１）y=2x²-4x-1の最大値・最小値
まずは与えられた関数のグラフを描く。最大最小値を求める問題では必ずグラフを描くように心がけたい。というのもグラフが描ければ９０％はクリアできたも同然だからだ。
グラフを描くにあたってまずは、y=2x²-4x-1 の頂点を求めていく。
y=2x²-4x-1
y=2(x²-2x)-1
y=2{(x-1)²-1}-1
y=2(x-1)²-3
このことから（１、－３）を頂点とする下に凸なグラフが描けることがわかる。ただしグラフを描くときに１つ気をつけなければならない。ｘに範囲が与えられていることを忘れないように。0≦x≦3の範囲でグラフを描くと次のようになる。
ここから最大値と最小値を探していく。グラフを見ればすぐに答えはわかるだろう。ｙの値はｙ＝５（ｘ＝３）のときに最大となり、ｙ＝－３（ｘ＝１）のときに最小となる。
（２）y=-x²-4xの最大値・最小値
続いてy=-x²-4xの最大値・最小値を求めていく。（１）と同様にグラフを描いていく。
まずはy=-x²-4xの頂点を求める。
y=-x²-4x
y=-(x²+4x)
y=-(x²+4x+4-4)
y=-(x+2)²+4
このことから（－２、４）を頂点とする、上に凸なグラフが描けることがわかる。、-4≦ｘ≦-1の範囲でグラフを描くと次のようになる。
こから最大値と最小値を探していく。こちらもグラフを見ればすぐに答えはわかるだろう。ｙ＝４（ｘ＝－２）のときに最大値となり、ｙ＝０（ｘ＝－４）のときに最小値となる。
グラフを的確に描くことが正解への近道であることがよくわかったのではないかと思う。
ｘの範囲がない場合
ｘの範囲がない場合の問題を練習したいときは次のテキストを参照してほしい。
２次関数の最大値・最小値の求め方（ｘの範囲なし）
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