１次関数と同じように、２次関数でも最大値・最小値を求めよという問題が存在する。その中でも最もベーシックな問題についてみていきたい。


まずは与えられた関数のグラフを描く。最大最小値を求める問題では必ずグラフを描くように心がけたい。というのもグラフが描ければ９０％はクリアできたも同然だからだ。
グラフを描くにあたってまずは、y=2x²-4x-1　の頂点を求めていく。

y=2x²-4x-1
y=2(x²-2x)-1
y=2{(x-1)²-1}-1
y=2(x-1)²-3

このことから（１、－３）を頂点とする下に凸なグラフが描けることがわかる。


ここから最大値と最小値を探していく。ちなみにこの関数の中でｙの値が最大となるとき、このｙの値を最大値と言い、ｙの値が最小となるとき、このｙの値を最小値と言う。

まずは最小値からみていこう。このグラフの中でｙの値が最小となる点はどこだろうか。もっともｙが小さいのはｙ＝－３でｘ＝１のときである。すなわちｙ＝－３が最小値となる。では最大値はいくらになるだろうか。ｘの値が１より大きくなればなるほど、もしくはｘの値が１より小さくなればなるほどｙの値は無限に大きくなっていく。このようなときは最大値なしが答えとなる。




続いてy=-x²-4xの最大値・最小値を求めていく。（１）と同様にグラフを描いていく。

まずはy=-x²-4xの頂点を求める。

y=-x²-4x
y=-(x²+4x)
y=-(x²+4x+4-4)
y=-(x+2)²+4

このことから（－２、４）を頂点とする上に凸なグラフが描けることがわかる。


このグラフから最大値と最小値を探していく。今度は最大値からみていこう。このグラフの中でｙの値が最大となるのは、ｙ＝４（ｘ＝－２）のときである。一方で最小値はどうだろうか。ｘの値が−２より大きくなればなるほど、もしくは−２より小さくなればなるほどｙの値は限りなく小さくなっていく。この場合は最小値なしが答えとなる。



以上みてきたように、最大値なし、最小値なしという答えが出てくる可能性があることを頭にいれておくようにしたい。


この応用が、ｘの範囲が決められている場合の問題だ。次のテキストを参照してほしい。



２次関数の最大値・最小値の求め方（ｘの範囲が与えられた場合）