というわけで、条件を満たすのはどのようなグラフかを考えてみましょう。
まず"y＝x²−２x−２m＋１"を平方完成します。

y＝x²−２x−２m＋１
y＝x²−２x＋１−２m
y＝(x−１)²−２m

つまりこの２次関数のグラフは、(１、−２m)を頂点とする下に凸な放物線を描くことがわかりました。このグラフが０≦x≦２の範囲でつねにy＜０となるためには、どのような放物線であればよいでしょうか。答えが次のグラフです。



x＝０のとき、そしてx＝２のときのyの値がそれぞれ負であれば、設問の条件を満たすことになります。


x＝０のとき、yの値は

y＝０²−２・０−２m＋１
＝−２m＋１

これが負であればよいので

−２m＋１＜０
−２m＜−１
m＞１/２　


x＝２のとき、yの値は
y＝(２−１)²−２m
＝１−２m

これが負であればよいので
１−２m＜０
−２m＜−１
m＞１/２

たまたま先ほどと同じ範囲になりましたね。

以上のことから"m＞１/２"の範囲であれば、２次関数のグラフは条件を満たす放物線を描くことがわかります。