３つ以上の項を持つ式の展開 / 数学II by OKボーイ |マナペディア|

更新日時：2012-06-02
	３つ以上の項を持つ式の展開
著作名： OKボーイ 42,324 views

３項以上の式の展開

３つ以上の項がある式に二項定理をどうやって使うのか。
ここではその方法を紹介します。

例えば、 $\left(a+b+c\right) ^{n}$
これの展開にそのまま二項定理を使うことはできません。
二項定理とは、その名の通り、２つの項を展開するときの定理ですからね。

では二項定理を使うのをあきらめるのかというと、そうはいきません。
そこで、（ａ＋ｂ）を１つの文字とみて二項定理を使えるように工夫をします。
ここではためしに（ａ＋ｂ）＝Ａとおいてみます。すると
$\left(a+b+c\right) ^{n} = \left(A+c\right) ^{n}$
これなら二項定理が使えそうですね！

ためしに $\left(a+b+c\right) ^{3}$ 　を展開してみましょう。
ａ＋ｂ＝Ａとおいたとき
$\left(a+b+c\right) ^{3} = \left(A+c\right) ^{3}$
$\left(A+c\right) ^{3} = {{}_{3}C_{0}} A ^{3} + {{}_{3}C_{1}} A ^{2} c+ {{}_{3}C_{2}} Ac ^{2} + {{}_{3}C_{3}} c ^{3}$
$= \left(a+b\right) ^{3} +3 \left(a+b\right) ^{2} c+ \left(a+b\right) c ^{2} +c ^{3}$
$=a ^{3} +3a ^{2} b+3ab ^{2} +b^{3}+a ^{2} c+2abc+b ^{2} c+ac ^{2} +bc ^{2} +c ^{3}$

このように求めることができます。

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