三角比の公式 90°<θ<180°の場合 / 数学I by OKボーイ |マナペディア|

更新日時：2012-06-02
	三角比の公式 90°<θ<180°の場合
著作名： OKボーイ 17,615 views

９０°<θ<１８０°における三角比の公式の証明

０°＜θ＜９０°において
$\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha = 1$
$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$
$1+\tan ^{2}\alpha =\frac{1}{\cos ^{2}\alpha }$

であることは以前学習しましたね。ではこれらの公式が９０°<θ<１８０°では当てはまるのかどうかを検証してみたいと思います。
まず、次のような図を用意します。

円の半径は１で点Ｐは第２象限にあります。
このときＯＡ＝ｘ、ＰＡ＝ｙ、ＯＰ＝１(円の半径なので)ですね。

$\sin \theta = \frac{PA}{OP} =y$ 　…①
$\cos \theta = \frac{OA}{OP} =x$ 　…②
$\tan \theta = \frac{PA}{OA} = \frac{y}{x}$ 　…③

また△ＯＰＡにおいて三平方の定理より
$OA ^{2} +PA ^{2} =OP ^{2}$
$x ^{2} +y ^{2} =1 ^{}$ 　…④

グラフからこれらのことがわかります。
まず①、②、④を使って
$\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha = 1$ 　が証明できます。

続いて
①、②、③より
$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$ 　が証明できます。

そして最後に
$1+ \tan ^{2} \theta =1+ \left( \frac{y}{x} \right) ^{2} = \frac{x ^{2} +y ^{2} }{x ^{2} }$
x ^{2} +y ^{2} =1]　なので
$\frac{x ^{2} +y ^{2} }{x ^{2} } = \frac{1}{x ^{2} }$

②より、
$1+\tan ^{2}\alpha =\frac{1}{\cos ^{2}\alpha }$ 　が成り立ちます。

以上のことから、
９０°<θ<１８０°であっても三角比の定理は成り立つことがわかりましたね。

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