とある２次関数の最小値と、その他のもう１点の座標が与えられた状態で、２次関数の式を求めてみよう。

まず２次関数の式がどのように表されたかを思い出そう。２次関数の式は

y=ax²+bx+c　・・・①
y=a(x-p)²+q　・・・②

で表すことができた。①の式を用いる場合、少なくとも３点の座標がわかっている必要があったが、今回与えられたのは（２，１）と（３，３）の２点のみなので②の式の形を用いる。

ここで１つ考えてみてほしい。②は下に凸なグラフを描くだろうか、それとも上に凸なグラフを描くだろうか。ヒントとなるのはｘ＝２のときに最小値が１という条件だ。ｘに範囲がない状態で最小値がわかるのは次のグラフのどちらだろうか。


答えはグラフ１を描く関数だろう。このことからａ＞０がわかる。

ちなみに下に凸なグラフの場合、頂点の座標がその関数の最小値となることから、ｐ＝２、ｑ＝１がわかる。つまり②は、y=a(x-2)²+1となる。あとは与えられたもう１つの点（３，３）をこの式に代入してａの値を求めればよい。

3=a(3-2)²+1
a=2

以上のことから求める２次関数の式はy=2(x-2)²+1