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最大値（－３，ｔ）とその他の２点の座標から２次関数の式を求める |
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著作名：
はっちゃん
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練習問題を通して理解を深めよう
とある２次関数でｘ＝－３のときに最大値ｔをとり、このグラフが（－２，１）、（－３，２）を通るとき、この２次関数の式を求めよ。
とある２次関数の最大値がｔ（ｘ＝－３）と、ｙが最大となるときのｘ座標の値だけわかっており、その他に２つの座標の値がわかっている。この状況で２次関数の式を求める問題にチャレンジしてみよう。
まず２次関数の式がどのように表されたかを思い出そう。２次関数の式は
y=ax²+bx+c ・・・①
y=a(x-p)²+q ・・・②
で表すことができた。①の式を用いる場合、少なくとも３点の座標がわかっている必要があったが、今回与えられたのは（－３、ｔ）、（－２，１）、（－３，２）と３点の座標がわかっているわけではないので②の式の形を用いる。
ここで１つ考えてみてほしい。②は下に凸なグラフを描くだろうか、それとも上に凸なグラフを描くだろうか。ヒントとなるのはｘ＝－３のときに最大値をとるという条件だ。ｘに範囲がない状態で最大値がわかるのは次のグラフのどちらだろうか。
答えは、グラフ２の放物線を描くだろう。このことからａ＜０がわかる。
ちなみに下に凸なグラフの場合、頂点の座標がその関数の最小値となることから、ｐ＝－３、ｑ＝ｔとなる。このことから②は
y=a(x+3)²+t
となる。あとはこの式に与えられた座標（－２，１）、（－３，２）を代入してａとｔの値を求めればよい。
■（－２，１）を代入
1=a(-2+3)²+t
a+t=1 ・・・③
■（－３，２）を代入
2=a(-3+3)²+t
t=2
t=2を③に代入して、a=-1
以上のことから求める２次関数の式は、y=-(x+3)²+2
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