導関数の公式の証明"y=xⁿ"を微分すると"(xⁿ)'＝nxⁿ⁻¹" / 数学II by ふぇるまー |マナペディア|

更新日時：2025-03-04
	導関数の公式の証明"y=xⁿ"を微分すると"(xⁿ)'＝nxⁿ⁻¹"
著作名：ふぇるまー 46,483 views

導関数の公式の証明

ここでは、以下の導関数の性質について証明していきます。

"y=xⁿ"の導関数は、
"(xⁿ)'＝nxⁿ⁻¹"

"y=xⁿ"なので、この関数を導関数の定義に従って微分したy'は、次の式で表すことができます。

$y ^{,} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{(x+h) ^{n} -x ^{n} }{h}$ 　ー①

計算が大変なので、まずは分子の

$(x+h) ^{n} -x ^{n}$

を先に計算してしまいましょう。

二項定理より、

$(x+h) ^{n}$

$= {{}_{n}C_{o}} x ^{n} + {{}_{n}C_{1}} x ^{n-1} h+ {{}_{n}C_{2}} x ^{n-2} h ^{2} + \cdots + {{}_{n}C_{n}} h ^{n}$

$=x ^{n} +nx ^{n-1} h+ {{}_{n}C_{2}} x ^{n-2} h ^{2} + \cdots + {{}_{n}C_{n}} h ^{n}$

$(x+h) ^{n} -x^{n}$

$= nx ^{n-1} h+ {{}_{n}C_{2}} x ^{n-2} h ^{2} + \cdots + {{}_{n}C_{n}} h ^{n}$

$\frac{(x+h) ^{n} -x^{n}}{h}$

$= nx ^{n-1} + {{}_{n}C_{2}} x ^{n-2} h + \cdots + {{}_{n}C_{n}} h ^{n-1}$

この式を①式に戻します。

$y ^{,} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{(x+h) ^{n} -x ^{n} }{h}$

$= \lim_{h \rightarrow 0} nx ^{n-1} + {{}_{n}C_{2}} x ^{n-2} h + \cdots + {{}_{n}C_{n}} h ^{n-1}$

$=nx^{n-1}$

以上から、"y=xⁿ"の導関数は"(xⁿ)'＝nxⁿ⁻¹"であることがわかりました。

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