△ABCに余弦定理を使うと、



これを変形すると



a、b、cは辺の長さなので当然"a＞０、b＞０、c＞０"ですから"２bc＞０"。このことから"cosA"が

・"cosA＞０"であれば"b² ＋c² −a² ＞０"
・"cosA＝０"であれば"b² ＋c² −a² ＝０"
・"cosA＜０"であれば"b² ＋c² −a² ＜０"

この逆もまた然りです。
以上のことをまとめると、



ではこの性質を利用してなにがわかるのかというと、三角形の辺の長さの関係によって、当該の角が鋭角か、直角か、鈍角かを判別することができます。




∠Cについて考えるので、"c²＝a²＋b²−２ab cosC"の余弦定理で考えてみましょう。



cosCの大きさを調べるためには、"a² ＋b² −c² "の値を確認すればよいことがわかります。

a² ＋b² −c² ＝３²＋４²−７²＝９＋１６−４９＝−２４＜０


"a² ＋b² −c²＜０"ということは、"cosC＜０"ということなので、∠Cは９０°より大きい角となります。つまり∠Cは鈍角です。