三角形の性質として、次のことが知られています。


※角Bと角C、角Aと角Cに注目したときも同じ。

このことから、△ABCで一番長い辺に対応する角が、その三角形の中で一番大きい、つまり△ABCの最大角であることがわかります。

ということは、三角形の最大角の大きさを調べることで、その三角形が鋭角三角形・直角三角形・鈍角三角形かを判別できますね。



ちなみに、三角形の中のすべての角が鋭角である三角形を鋭角三角形、三角形の１角が直角である三角形を直角三角形、三角形の１角が鈍角である三角形を鈍角三角形といいます。





与えられた条件で図をイメージしてかくとこのようになります。
(※あくまでもイメージで、この角の割合が正しいかはわかりません。)

"a＝３、b＝４、c＝７"より、"a＜b＜c"なので、∠Cがこの三角形の最大角となります。つまり∠Cが鋭角か、直角か、それとも鈍角かを調べることで、この三角形が鋭角三角形・直角三角形・鈍角三角形のいずれであるかを調べることができます。


∠Cについて考えるので、"c²＝a²＋b²−２ab cosC"の余弦定理で考えてみましょう。



分母の"2ab"はつねに"2ab＞０なので、"cosCの大きさを調べるためには、"a² ＋b² −c² "の値を確認すればよいことがわかります。

a² ＋b² −c² ＝３²＋４²−７²＝９＋１６−４９＝−２４＜０


"a² ＋b² −c²＜０"ということは、"cosC＜０"ということなので、∠Cは９０°より大きい角となります。つまり∠Cは鈍角です。

このことから、△ABCは鈍角三角形であるといえます。