余弦定理を証明するためには、△ABCにおいて次の３パターンを考える必要があります。

・∠Aと∠Bが鋭角の場合
・∠Aが鈍角の場合
・∠Bが鈍角の場合


ここでは、∠Bが鈍角の場合についての証明を行います。
("∠Aと∠Bが鋭角の場合"、"∠Aが鈍角の場合")




∠Bが鈍角な三角形を図示するとこのようになります。
この三角形で余弦定理を証明するために、次のように△ABCを座標上で考えるとします。



AとBの座標はそれぞれ"A(０,０)、B(c,０)"とわかりますが、Cの座標がぱっと見ではわからないので、まずはcの座標を求めるとします。

点Cからx軸に向かって垂線をおろし、x軸との交点をHとします。



このとき△ACHでサインとコサインを考えると


整理すると



整理すると


以上から、点Cの座標はC(b cosA,b sinA)であることがわかりました。



次に、△BCHに三平方の定理を適応します。

BC²＝CH²＋BH²

・"BC＝a"
・CHはCのy座標に等しいので、"CH＝b sinA"
・BH＝AH−ABより、"BH＝b cosA−c"

a²＝(b sinA)²＋(b cosA−c)²
a²＝b² sin²A＋b² cosA²−２bc cosA＋c²
a²＝b²(sin²A＋cosA²)＋c²−２bc cosA

このとき、三角比の公式より
"sin²A＋cosA²＝１"なので

a²＝b²(sin²A＋cosA²)＋c²−２bc cosA
a²＝b²＋c²−２bc cosA

∠Bと∠Cにおいても同様にして公式を導くことができます。
以上から、∠Bが鈍角の場合に余弦定理が成り立つことが証明されました。