２数を解とする２次方程式[α＋１とβ＋１を解とする２次方程式を求める問題] / 数学II by ふぇるまー |マナペディア|

更新日時：2014-03-17
	２数を解とする２次方程式[α＋１とβ＋１を解とする２次方程式を求める問題]
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２数を解とする２次方程式

２次方程式"x²−５x＋６＝０"の２つの解を"α"，"β"とするとき、"α＋２"，"β＋２"を解とする２次方程式を１つ求めなさい

与えられた２数を解とする２次方程式を求める問題の応用問題を考えてみましょう。

解法

まず、２次方程式"x²−５x＋６＝０"において解と係数の関係を適応します。

$\alpha + \beta =- \frac{-5}{1} =5$
$\alpha \beta = \frac{6}{1} =6$

次に、求める２次方程式を"x²＋bx＋c＝０"と仮定しましょう。(x²の係数が１のときの２次方程式を考えます)

題意より、この２次方程式"x²＋bx＋c＝０"の２つの解が"α＋２"，"β＋２"となるわけですから、解と係数の関係により、

$\left( \alpha +2\right) + \left( \beta +2\right) =- \frac{b}{1} =-b$
$\left( \alpha +2\right) \left( \beta +2\right) = \frac{c}{1} =c$

■"(α＋２)＋(β＋２)＝−b"

α＋β＋４＝−b

先ほど"α＋β＝５"と求めたのでこれを代入して

−b＝９
b＝−９

■"(α＋２)(β＋２)＝c"

αβ＋２α＋２β＋４＝c
αβ＋２(α＋β)＋４＝c

さきほど、"α＋β＝５"，"αβ＝６"と求めたのでこれを代入して

c＝６＋２・５＋４
c＝２０

以上のことから、求める２次方程式の１つは"x²−９x＋２０＝０"となります。

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