２次方程式"ax²＋bx＋c＝０"の判別式を"D=b²-4ac"、２つの解を"α"と"β"としたとき、次のことが成り立ちます。



では、この知識がどのような形で役立つのかを、練習問題を通してみてみましょう。




２次方程式"２x²−２mx＋m＋４＝０"の２つの解をαとβとしたとき、α＞０かつβ＞０となるmの範囲を求めればよいわけですが、先ほどみた「α＞０、β＞０⇄D＞０、α＋β＞０、αβ＞０」をうまく使えば答えを求められそうです。

"α＞０、β＞０"であるためには、"D＞０、α＋β＞０、αβ＞０"である必要があるので

・D＞０
・α＋β＞０
・αβ＞０

この３つの式をそれぞれみていきましょう。


２次方程式"２x²−２mx＋m＋４＝０"において、判別式"D"の値は

D=(−２m)²−４・２(m＋４)＝４m²−８m−３２

これがD＞０であればよいので

４m²−８m−３２＞０
m²−２m−８＞０
(m−４)(m＋２)＞０

m＜−２、４＜m　ー①


続いて"α＋β＞０"と"αβ＞０"ですが、これはよく見てみると解と係数の関係と同じですね。

２次方程式"２x²−２mx＋m＋４＝０"において、解と係数の関係により




これがそれぞれ"α＋β＞０"と"αβ＞０"となるので

m＞０　ー②
m＞−４　ー③

以上求めた、①、②、③の範囲を同時に満たすmの範囲が、今回求めるものとなります。"m＞４"のときに与えられた２次方程式が条件を満たすことがわかりますね。