複素数を解に含む２次方程式の解き方 / 数学II by ふぇるまー |マナペディア|

更新日時：2014-03-06
	複素数を解に含む２次方程式の解き方
著作名：ふぇるまー 38,636 views

２次方程式

解の公式を用いて２次方程式を解く方法は、すでに学習済みかと思います。試しに次の問題を解いてみましょう。

$3x ^{2} -4x-2=0$

解の公式を用いて解くと

$x=- \frac{ \left(-4\right) }{2 \times 3} \pm \frac{ \sqrt{ \left(-4\right) ^{2} -4 \cdot 3 \cdot \left(-2\right) } }{2 \times 3}$
$x= \frac{4}{6} \pm \frac{ \sqrt{16+24} }{6}$
$x= \frac{4}{6} \pm \frac{ \sqrt{40} }{6}$
$x= \frac{4}{6} \pm \frac{2 \sqrt{10} }{6}$
$x= \frac{2}{3} \pm \frac{ \sqrt{10} }{3}$

と求める事ができますね。では次の問題はどうでしょう。

$3x ^{2} -4x+2=0$

同じように、解の公式を用いて解いてみましょう。

$x=- \frac{ \left(-4\right) }{2 \times 3} \pm \frac{ \sqrt{4 ^{2} -4 \cdot 3 \cdot 2 } }{2 \times 3}$
$x= \frac{4}{6} \pm \frac{ \sqrt{16-24} }{6}$
$x= \frac{4}{6} \pm \frac{ \sqrt{-8} }{6}$

ルートの中がマイナスとなったので、数学Ⅰまでの範囲で考えると、この式の答えは"解なし"となるはずです。しかし、数学Ⅱでは負の平方根を複素数で表すことを勉強しているので、ここから先も解かなければなりません。

"√-8＝√-8 i"より

$x= \frac{4}{6} \pm \frac{ \sqrt{-8} }{6} = \frac{4}{6} \pm \frac{ \sqrt{8} i}{6} = \frac{2}{3} \pm \frac{ \sqrt{2} i}{3}$

この単元から先は、何も指示がされていない場合は、複素数を用いて答えを求めるようにしましょう。

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