点の軌跡を求める問題で目にする形ですね。
この手の問題が苦手な人は特に注目です。点の軌跡を求める問題は、これから説明する順番で解いていけば、必ず答えを求めることができます。


点Pの座標を(x、y)とする

言葉通りで、点Pの座標を(x、y)とします。


点A、B、Pがどのような関係にあるのか式をたてる。

今回の問題では、点A、B、Pの関係が式で与えられています。

"AP²：BP²＝３：１"

これを変形して、

"AP²＝３BP²"　ー①

としておきましょう。


与えられた条件を①に当てはめる

点Aと点Bの座標は問題文で与えられています。そして先ほど、点Pの座標は(x，y)としました。このことからAPとBPの長さを求めることができますね。


座標上の２点間の距離を求める公式より

AP²＝(x−０)²＋(y−２)²＝x²＋(y−２)²
BP²＝(x−０)²＋(y＋２)²＝x²＋(y＋２)²

これを①に代入しましょう。

x²＋(y−２)²＝３{x²＋(y＋２)²}


作った式を整理したものが求める軌跡の方程式

x²＋(y−２)²＝３{x²＋(y＋２)²}

あとはこの式を整理するだけで、点の軌跡が求まります。

x²＋y²−４y＋４＝３x²＋３(y²＋４y＋４)
x²＋y²−４y＋４＝３x²＋３y²＋１２y＋１２
２x²＋２y²＋１６y＋８＝０
x²＋y²＋８y＋４＝０
x²＋y²＋８y＋１６−１６＋４＝０
x²＋(y＋４)²＝１２
x²＋(y＋４)²＝(2√3)²

つまりこの点の軌跡は、(０，−４)を中心とする半径2√3の円となります。



逆もまた正しいことを証明する

軌跡がわかったところで、"x²＋(y＋４)²＝(2√3)²"上の点Pが本当に"AP：BP＝３：１"となる点なのかを証明しなければなりません。しかし、このステップは省略することが可能です。問題文での指示がない限り、次のように書いておけば点数がもらえますので、ここは楽をしちゃいましょう。

「逆に"x²＋(y＋４)²＝(2√3)²"上の点P(x、y)は条件を満たす」


以上から、条件を満たす点Pの軌跡は「(０，−４)を中心とする半径2√3の円」