「グラフがx軸と接する」状態をグラフにしてみましょう。すべての数値がわかっているわけではないので、なんとなくの概念図でＯＫです。


では"y＝２x²＋４x−m"のグラフがx軸と接するための条件を思い出しましょう。そう、"２x²＋４x−m＝０"としたときの判別式DがD＝０の場合ですね。

D＝b²−４acなので、a＝２、b＝４、c＝－ｍを代入すると

(４)²－４・２・(－ｍ)＝１６＋８ｍ

Ｄ＝０なので
１６＋８ｍ＝０
８ｍ＝－１６
ｍ＝－２

すなわち"m＝−２"のときに、２次関数"ｙ＝２x²＋４x−m"はｘ軸と接することになります。


まずは"ｍ＝－２"を"y＝２x²＋４x−m"に代入して、式を完成させましょう。

"y＝２x²＋４x＋２"

ｘ軸と接するということは、"ｙ＝０"となりますね。つまり、"２x²＋４x＋２＝０"を満たすｘの値が、グラフとｘ軸との接点のｘ座標の値となります。

２x²＋４x＋２＝０
x²＋２x＋１＝０
(ｘ＋１)²＝０
ｘ＝－１

以上のことから、ｘ軸と接する点の座標は(－１，０)となる。

または、ｘ軸とが接する点はグラフの頂点に等しいので、グラフの頂点の座標を考えることで答えを求めることもできます。
"y＝２x²＋４x＋２"を平方完成すると、"y＝２(ｘ＋１)²"なので、このグラフの頂点の座標は(－１，０)であることがわかる。