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接弦定理の証明(円周角が鈍角ver.) |
著作名:
となりがトトロ
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接弦定理:円の接線と弦の作る角
円の接線とその接点を通る弦とがなす角は、その角内にある孤に対する円周角に等しい
このテキストでは、この定理を証明します。
円周角が鈍角の場合の証明
次の図のように円Oに接線をひき、その交点をAとする。また説明をしやすくするために、点Tを接線上にとる。そして、Aから円の中心を通る線ADをひく。ここでいう円周角とは、∠ACBのことである。
∠BATが∠ACBと同じ大きさになるかを証明していくわけだが、まず
∠BAT=∠BAD+∠DAT
ATは円Oの接線、またADは円の直径であることから
∠DAT=90°
つまり、∠BAT=∠BAD+90° -①
次に∠ACBについて考える。
∠ACB=∠BCD+∠DCA
ADは円Oの直径なので、△DCAにおいて、∠DAC=90°
つまり、∠ACB=∠BCD+90° -②
最後に、∠BADと∠BCDの関係を調べる。
この2つの角は、共に同じ弦BDに対する円周角なので
∠BAD=∠BCD -③
①、②、③より
∠BAT=∠ACB
であることがわかる。
証明おわり。
・円周角が鋭角の場合の証明
・円周角が直角の場合の証明
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