このテキストでは、この定理を証明します。


方べきの定理は、（１）点Ｐが円Ｏの外にある場合と（２）点Ｐが円Ｏの内部にある場合の２パターンにわけて証明を行う。



四角形ＡＣＤBは円Ｏに内接する四角形なので、

∠ＰＡＣ=∠ＰＤＢ　－①

△ＰＡＣと△ＰＤＢにおいて、∠ＡＰＣは共通。　－②

①、②より△ＰＡＣと△ＰＤＢは２つの角の大きさがそれぞれ等しい三角形であることがわかる。つまり△ＰＡＣと△ＰＤＢは相似である。

よってPA：PD=ＰＣ：PB。つまり

PA・PB=ＰＣ・PD

が成り立つことがわかる。


続いて「点Ｐが円Ｏの内部にある場合」を証明していく。


△ＰＡＣと△ＰＤＢにおいて、∠ＰＡＣと∠ＰＤＢは、同じ弦の円周角なので

∠ＰＡＣ＝∠ＰＤＢ　－③

また、対頂角は等しいことから

∠ＡＰＣ＝∠ＤＰＢ　－④

③、④より△ＰＡＣと△ＰＤＢは２つの角の大きさがそれぞれ等しい三角形であることがわかる。つまり△ＰＡＣと△ＰＤＢは相似である。

よってPA：PD=ＰＣ：PBつまり

PA・PB=ＰＣ・PD

が成り立つことがわかる。

以上のことから、方べきの定理が成り立つことが証明できた。
証明おわり。

・方べきの定理の証明－１本が円の接線の場合－