半角の公式　cos²α/2=(1+cos α)/2の導き方と使い方（証明・練習問題） / 数学II by となりがトトロ |マナペディア|

更新日時：2020-08-04
	半角の公式　cos²α/2=(1+cos α)/2の導き方と使い方（証明・練習問題）
著作名：となりがトトロ 93,842 views

cos²α/2=（1+cos α）/2の証明

ここでは"cos²α/2=（1+cos α）/2"の証明を行います。この証明の前に、2倍角の公式：cosが成り立つことを理解しておきましょう。2倍角の公式が成り立つことを前提に証明をしていきます。

証明

2倍角の公式cos2α=2cos²α-1を変形して、
$2 \cos ^{2} \alpha =1+ \cos 2 \alpha$
$\cos ^{2} \alpha = \frac{1+ \cos 2 \alpha }{2}$

ここで、「α」を「α/2」に置き換えると
$\cos ^{2} \frac{ \alpha }{2} = \frac{1+ \cos \alpha }{2}$

が成り立つことがわかる。

証明おわり。

練習問題

半角の公式を用いて、cos30°の値を求めよ。

cos30°ということは、 $\cos \frac{60 ^{ \circ } }{2}$ ということなので、半角の公式より

$\cos ^{2} \frac{60 ^{ \circ } }{2} = \frac{1+ \cos 60 ^{ \circ } }{2}$
$\cos ^{2} 30 ^{ \circ } = \frac{1+ \frac{1}{2} }{2} = \frac{ \frac{3}{2} }{2} = \frac{3}{4}$

0°≦θ≦90°のとき、cosθはcosθ＞0となることから、cos30°＞0であることがわかる。このことから
$\cos 30 ^{ \circ } = \frac{ \sqrt{3} }{2}$

答え：cos30°=√3/2

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