等差数列と等比数列の和の求め方 / 数学B by はっちゃん |マナペディア|

更新日時：2013-03-27
	等差数列と等比数列の和の求め方
著作名：はっちゃん 18,433 views

次の数列の和を求めよ。
（１）１，３，５，７，９，１１，１３，１５
（２）１，２，４，８，１６，３２，６４

等差数列と等比数列では、数列にふくまれているすべての数字の和を求めよという問題がでてくる。例題のようにすべてを足して求められる数字の数であれば良いが、実際にはそう簡単にはいかない。しかし安心してほしい。等差数列の和と等比数列の和を求めるための公式が存在するので、それらを紹介しよう。

等差数列の和

初項が $a _{1}$ 、ｎ番目の項が $a _{n}$ のとき、 $a _{1}$ から $a _{n}$ までの数列の和を $S _{n}$ とする。このとき、数列の和は次のように表される。

$S _{n} = \frac{1}{2} n \left(a _{1} +a _{n} \right)$

これを利用して、「（１）１，３，５，７，９，１１，１３，１５」という等差数列の和を求めてみよう。項数は８こなので

$S _{8} = \frac{1}{2} \times 8 \times \left(1 +15\right) =4 \times 16=64$

実際に１から１５まで足してみると、同じ値が得られる。

等比数列の和

初項が $a _{1}$ 、ｎ番目の項が $a _{n}$ 、公比が $r$ のとき、 $a _{1}$ から $a _{n}$ までの数列の和を $S _{n}$ とする。このとき、数列の和は次のように表される。

$S _{n} = \frac{a _{1} \left(1-r ^{n} \right) }{1-r} = \frac{a _{1} \left(r ^{n} -1\right) }{r-1}$

ただし、ｒ＝１のときには
$S _{n} =na$

これを利用して、「（２）１，２，４，８，１６，３２，６４」という等比数列の和を求めてみよう。項数は７こなので

$S _{7} = \frac{1\times \left(1-2 ^{7} \right) }{1-2} =127$

実際に１から６４まで足してみると、同じ値が得られる。

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