初項がa、公差がｄの等差数列において、初項から第ｎ項までの和は、



で求めることができます。今回はこの公式を証明します。


証明の方法を理解するために、まずは具体的な数字の入った数列を例に考えていく。



これは、初項が２、公差が２、項数が５の等差数列である。初項２から第５項１０までの和は、

　　-①

となる。一方で、足し算の順番を変えて

　　－②

と書くこともできる。①＋②をすると、次のような計算ができる。


これと同じことを、今度は初項がa、公差がｄの数列で考えていく。
この数列において、第ｎ項はであり、初項から第ｎ項までの和は、

　　－③


一方で、先ほどと同じように次のようにも表せる。
　　－④

③＋④をすると



　－⑤

また、初項がa、公差がｄの数列の一般項は

なので、これを⑤に代入すると



以上のことから

であることがわかった。

証明おわり。