期待値の問題を解いてみましょう / 数学B by OKボーイ |マナペディア|

更新日時：2012-06-02
	期待値の問題を解いてみましょう
著作名： OKボーイ 21,208 views

期待値とは

$X$	$x_{1}$	$x_{2}$	・・・	$x_{n}$	計
$P$	$p_{1}$	$p_{2}$	・・・	$p_{n}$	１

このような確立分布があったとき
$x _{1} p _{1} +x _{2} p _{2} + \cdots +x _{n} p _{n}$
をXの期待値と言い、E（ｘ）と表すんでしたね。
これをくんで次の問題を解いてみましょう。

問題

袋の中に赤玉４個と白玉３個が入っています。この中から３個を同時に取り出すとき、赤玉が入っている個数をXとします。この確率変数Xの期待値を求めてみましょう。

■Xの値ごとの確立を求めて確率分布を作ってみましょう

まず、Xの取りうる値を考えてみます。３個同時にとりだすということから
X=０，１，２，３の４通りですね。

○X=０のとき（赤０コ、白３コ）
$\frac{ {{}_{4}C_{0}} \times {{}_{3}C_{3}} }{ {{}_{7}C_{3}} } =\frac{1}{35}$

○X=１のとき（赤１コ、白２コ）
$\frac{ {{}_{4}C_{1}} \times {{}_{3}C_{2}} }{ {{}_{7}C_{3}} }=\frac{12}{35}$

○X=２のとき（赤２コ、白１コ）
$\frac{ {{}_{4}C_{2}} \times {{}_{3}C_{1}} }{ {{}_{7}C_{3}} }=\frac{18}{35}$

○X=３のとき（赤３コ、白２コ）
$\frac{ {{}_{4}C_{3}} \times {{}_{3}C_{0}} }{ {{}_{7}C_{3}} }=\frac{4}{35}$

以上のことから確率分布は次のようになります。

X	０	１	２	３	計
P	１/３５	１２/３５	１８/３５	４/３５	１

ゆえに期待値は
$E \left(X\right) =0 \times \frac{1}{35} +1 \times \frac{12}{35} +2 \times \frac{18}{35} +3 \times \frac{4}{35} = \frac{12}{35} + \frac{36}{35} + \frac{12}{35} = \frac{60}{35} = \frac{12}{7}$

となります。

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