有理数の指数[累乗根の公式の証明]

著者名：ふぇるまー

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指数の拡張

ここでは、次の２つの累乗根の公式を導いていきます。

＜証明１＞
a＞０でmとnが正の整数のとき
$a ^{ \frac{m}{n} } = \sqrt[n]{a ^{m} }$
の証明

＜証明２＞
a＞０でmとnが正の整数のとき
$a ^{- \frac{m}{n} } = \frac{1}{ \sqrt[n]{a ^{m} } }$
の証明

証明１

指数法則の１つである

$\left(a ^{m} \right) ^{n} =a ^{mn}$

に、m＝２/３、n＝３を代入してみます。

$\left(a ^{ \frac{2}{3} } \right) ^{3} =a ^{ \frac{2}{3} \times 3} =a ^{2}$

これは、

$\left( \sqrt[3]{a ^{2} } \right) ^{3} =a ^{2}$

の計算と同じと考えることができます。
このことから、

$a ^{ \frac{2}{3} } = \sqrt[3]{a ^{2} }$

つまり、

$a ^{ \frac{m}{n} } = \sqrt[n]{a ^{m} }$

を導くことができます。

証明２

指数法則の１つである

$a ^{-n} = \frac{1}{a ^{n} }$

に、n＝−２/３を代入すると

$a ^{- \frac{2}{3} } = \frac{1}{a ^{ \frac{2}{3} } }$

証明１より、

$a ^{- \frac{2}{3} } = \frac{1}{a ^{ \frac{2}{3} } } = \frac{1}{ \sqrt[2]{a ^{3} } }$

以上から、

$a ^{- \frac{m}{n} } = \frac{1}{ \sqrt[n]{a ^{m} } }$

を導くことができます。

・わかりやすい指数・累乗根の大小の比較[底をそろえることができる場合]

・累乗根の公式の証明"(ⁿ√a) ×(ⁿ√b)＝ⁿ√ab"

・指数関数y＝aˣのグラフの平行移動

・応用[指数関数を含んだ不等式の計算]

・累乗根の大小

証明, 公式, 指数, 累乗根, 指数法則,

2013　数学Ⅱ　数研出版

2013　数学Ⅱ　東京書籍

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