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12_80 2次関数 / 2次関数のグラフとx軸の位置関係・共有点・判別式

2次関数"y=2x²+4x-m"がx軸と共有点をもたないときの定数mの範囲を求める問題

著者名: ふぇるまー
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グラフがx軸と共有点を持たない場合

問題
2次関数"y=2x²+4x−m"において、yの値が常に正となるような定数mの範囲を求めなさい。


ポイント
2次関数がx軸と共有点をもたないための条件は何だったかを思い出す。


解法

「yの値が常に正」な状態をグラフにしてみましょう。すべての数値がわかっているわけではないので、なんとなくの概念図でOKです。
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yの値が常に正ということは、「グラフがx軸と共有点をもたない」ということですね。
では"y=2x²+4x−m"のグラフがx軸と共有点を持たないための条件を思い出しましょう。そう、"2x²+4x−m=0"としたときの判別式DがD<0の場合ですね。

D=b²−4acなので、a=2、b=4、c=-mを代入すると

(4)²-4・2・(-m)=16+8m

D<0なので
16+8m<0
8m<-16
m<-2

すなわち"m<−2"のときに、2次関数"y=2x²+4x−m"のyの値は常に正となります。

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・2次関数"y=2x²+4x-m"がx軸と共有点をもたないときの定数mの範囲を求める問題

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2013 数学Ⅰ 東京書籍
2013 数学Ⅰ 数研出版

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