導関数の求め方：数学Ⅱのおさらい / 数学III by OKボーイ |マナペディア|

更新日時：2012-06-02
	導関数の求め方：数学Ⅱのおさらい
著作名： OKボーイ 15,483 views

関数ｆ（ｘ）のｘ＝ａにおける微分係数ｆ'（ｘ）は、次のように求めることができました。

$\acute{f} \left(x\right) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f \left(a+h\right) -f \left(a\right) }{h} = \frac{f \left(x\right) -f \left(a\right) }{x-a}$

これをうまく使いこなせるように練習をしてみましょう。

$y=x ^{4}$ 　の導関数を求めなさい

先程の公式より、
$\acute{f} \left(x\right) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ \left(x+h\right) ^{4} -x ^{4} }{h}$

これを、二項定理を使って展開していきます。
二項定理を使うと
$\left(x+h\right) ^{4} = {{}_{4}C_{0}} x ^{4} + {{}_{4}C_{1}} x ^{3} h+ {{}_{4}C_{2}} x ^{2} h ^{2} + {{}_{4}C_{3}} xh ^{3} + {{}_{4}C_{4h ^{4} }}$
になります。

よって
$\acute{f} \left(x\right) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{{{}_{4}C_{0}} x ^{4} + {{}_{4}C_{1}} x ^{3} h+ {{}_{4}C_{2}} x ^{2} h ^{2} + {{}_{4}C_{3}} xh ^{3} + {{}_{4}C_{4}h ^{4} }-x^4}{h}$
$= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{4x ^{3} h+6x ^{2} h ^{2} +4xh ^{3} +h ^{4} }{h}$
$= \lim_{h \rightarrow 0} \left(4x ^{3} +6x ^{2} h+4xh ^{2} +h ^{3} \right)$
$=4x^{3}$

関数ｆ（ｘ）について、ｘ＝ａのときにｆ'（ｘ）が存在するとき、ｆ（ｘ）はｘ＝ａで微分可能であるということも併せて覚えておきましょう。

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