定積分の公式の証明(５) / 数学II by ふぇるまー |マナペディア|

更新日時：2014-10-16
	定積分の公式の証明(５)
著作名：ふぇるまー 11,213 views

定積分の公式の証明

ここでは、定積分の公式の１つである

$\int_{a}^{b} \left{ k f(x) - l g(x)}dx \right} = k \int_{a}^{b} f(x)dx - l \int_{a}^{b} g(x)dx$

の証明を行います。

証明

このテキスト以前で紹介した次の２つの公式を用いて証明します。

＜①＞
$\int_{a}^{b} k f(x)dx = k \int_{a}^{b} f(x)dx$
公式の証明

＜②＞
$\int_{a}^{b} \left{ f(x) - g(x)}dx \right} = \int_{a}^{b} f(x)dx - \int_{a}^{b} g(x)dx$
公式の証明

説明をしやすくするために「①」、「②」と名付けていますが、順番は気にしないでくださいね。

②の公式より

$\int_{a}^{b} \left{ k f(x) - l g(x)}dx \right} = \int_{a}^{b} k f(x) - \int_{a}^{b} l g(x)$

そして①の公式より

$\int_{a}^{b} k f(x) = k \int_{a}^{b} f(x)$
$\int_{a}^{b} l g(x) = l \int_{a}^{b} g(x)$

なので、

$\int_{a}^{b} k f(x) - \int_{a}^{b} l g(x) = k \int_{a}^{b} f(x) - l \int_{a}^{b} g(x)$

以上から、

$\int_{a}^{b} \left{ k f(x) - l g(x)}dx \right} = k \int_{a}^{b} f(x)dx - l \int_{a}^{b} g(x)dx$

が成り立つことが証明されました。

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