定積分の公式の証明(１) / 数学II by ふぇるまー |マナペディア|

更新日時：2014-10-16
	定積分の公式の証明(１)
著作名：ふぇるまー 18,480 views

定積分の公式の証明

ここでは、定積分の公式の１つである

$\int_{a}^{b} k f(x)dx = k \int_{a}^{b} f(x)dx$

の証明を行います。

証明

f(x)を積分したものの１つをF(x)とします。
このときf(x)とF(x)は、

F'(x)＝f(x)

という関係です。
このときF(x)を実数kでk倍した、"kF(x)"を微分すると、

kF'(x)＝kf(x)

となるのは、導関数の公式で学習した通りです。この関係をaからbの範囲において積分の式に表すと、

$\int_{a}^{b} kf(x)= \left[kF(x)\right]_{a}^{b}$

となります。この式をさらに解いていくと

$\left[kF(x)\right]_{a}^{b} = k F(b) - k F(a) =k \left{F(b) - F(a) \right}$ 　ー①

一方で、f(x)とF(x)の関係をaからbの範囲において積分の式に表すと、

$\int_{a}^{b} f(x)= \left[F(x)\right]_{a}^{b} = F(b) -F(a)$ 　ー②

①と②式から、

$\int_{a}^{b} kf(x)$
$= \left[kF(x)\right]_{a}^{b}$
$= k \left{F(b) - F(a) \right}$
$=k \int_{a}^{b} f(x)$

つまり

$\int_{a}^{b} k f(x)dx = k \int_{a}^{b} f(x)dx$

が成り立つことがわかります。

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