等式の証明 / 数学II by OKボーイ |マナペディア|

更新日時：2012-06-02
	等式の証明
著作名： OKボーイ 11,047 views

等式の証明

左辺＝右辺が成り立つことを証明する、という方法をこの単元では学びます。
等式を証明する場合

右辺(左辺)を変形させて、他方と同じ形になるかを確かめる

右辺－左辺 (または左辺－右辺)＝０となるかを確かめる

この２つの方法を用いることが多いです。このことを踏まえて問題を解いてみましょう。

$x ^{4} +x ^{2} +1= \left(x ^{2} +x+1\right) \left(x ^{2} -x+1\right)$ 　を証明してみましょう。

左辺を展開して右辺と等しくなるか、もしくは「左辺－右辺＝０」となるかを確かめてみます。とりあえず右辺を展開してみましょう。
$\left(x ^{2} +x+1\right) \left(x ^{2} -x+1\right)$ 　において x ^{2} +1=A] とおくと
$\left(x ^{2} +x+1\right) \left(x ^{2} -x+1\right) = \left(A+x\right) \left(A-x\right)$
$=A ^{2} -x ^{2}$
$= \left(x ^{2} +1\right) ^{2} -x ^{2}$
$=x ^{4} +2x ^{2} +1-x ^{2}$
$=x ^{4} +x ^{2} +1$

左辺＝右辺となることがわかりました。よって式は成り立つ。
これで証明は終了です。
もう１問やってみましょう。
$\left(a ^{2} +b ^{2} \right) \left(c ^{2} +d ^{2} \right) = \left(ac+bd\right) ^{2} + \left(ad-bd\right) ^{2}$
が成り立つことを証明してみましょう。
とりあえず、左辺と右辺をどちらとも展開してみましょう。
左辺＝　 $a ^{2} b ^{2} +a ^{2} d ^{2} +b ^{2} c ^{2} +b ^{2} d ^{2}$
右辺＝　 $a ^{2} c ^{2} +2abcd+b ^{2} d ^{2} +a ^{2} d ^{2} -2abcd+b ^{2} c ^{2}$
$= a ^{2} b ^{2} +a ^{2} d ^{2} +b ^{2} c ^{2} +b ^{2} d ^{2}$

以上のことから左辺＝右辺が成り立つことがわかります。

このように

右辺(左辺)を変形させて、他方と同じ形になるかを確かめる

右辺－左辺 (または左辺－右辺)＝０となるかを確かめる

ことが等式の証明では多く使われます。

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