ここでは、これまで学習してきた平均変化率、そして極限値を使って、微分係数について考えていきます。

「微分係数！？」またまた難しそうな言葉ですね。教科書では、微分係数は次のように求めると書いてあります。



しかしこれだけだとわかりにくいですよね。
そこで、微分係数を理解するためにまず、「微分係数とは接線の傾きのことである」と考えましょう。理由はこれから説明します。

問題を一緒に解きながらのほうが説明しやすいので、次の問題を使って考えていきます。




まず、"y＝x²"として、この関数のグラフをかいてみます。



x＝１のとき、この点のy座標は"f(１)"となります。この点をAとしましょう。また、x＝１＋hのとき、この点のy座標は"f(１＋h)"となります。この点をBとしましょう。

まずはじめに、点AB間の平均変化率を求めます。つまり直線ABの傾きですね。



直線の傾きは次のようになります。


ここまではいいですね。
次に、点Bの位置を、限りなくAに近づけていきます。想像してください。



すると最終的に、直線は点Aの接線となることがわかります。また、点Bが点Aに近づくということは、"hの値が限りなく０に近づく"ことを意味します。

以上のことをふまえると、点Aの接線の傾きは、



直線ABの傾きを限りなく点Aの接線の傾きに近づけたものに等しくなります。この値のことを微分係数といい、f'(x)で表します。

今回の問題では、




これを、次の条件で表したものが、教科書に載っている公式です。