導関数の公式の証明y＝f(x)+g(x)を微分するとy'＝f'(x)+g'(x) / 数学II by ふぇるまー |マナペディア|

更新日時：2014-09-01
	導関数の公式の証明y＝f(x)+g(x)を微分するとy'＝f'(x)+g'(x)
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導関数の公式の証明

ここでは、次の導関数の性質について証明していきます。

"y＝f(x)＋g(x)"の導関数は、
y'＝{f(x)＋g(x)}'＝f'(x)＋g'(x)

kf(x)＝x³"、"g(x)＝x²"として、この関数を導関数の定義に従って微分してみましょう。

"y＝f(x)＋g(x)＝x³＋x²"なので、x＋hを代入すると、

f(x＋h)＋g(x＋h)
＝(x＋h)³＋(x＋h)²
＝x³＋３x²h＋３xh²＋h³＋x²＋２xh＋h²
＝h³＋h²(３x＋１)＋h(３x²＋２x)＋x³＋x²

$y ^{,} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\left{f(x+h)+g(x+h)\right}-\left{f(x)+g(x)\right}}{h}$

$= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{h ^{3} +h ^{2} (3x+1)+h(3x ^{2} +2x)+x ^{3} +x ^{2} -\left{ x ^{3} +x ^{2}\right} }{h}$

$= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{h ^{3} +h ^{2} (3x+1)+h(3x ^{2} +2x)+x ^{3} +x ^{2} -x ^{3} - x ^{2} }{h}$

$= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{h ^{3} +h ^{2} (3x+1)+h(3x ^{2} +2x)}{h}$

$= \lim_{h \rightarrow 0} h ^{2} +h (3x+1)+3x ^{2} +2x$

極限値の計算方法より
$y ^{,} = 3x ^{2} +2x$

f'(x)＝(x³)'＝３x²
g'(x)＝(x²)'＝２x

なので、先ほど求めたy'は、

$y ^{,} =3x ^{2} +2x=f ^{,} (x)+g ^{,} (x)$

以上のことから、"y＝f(x)＋g(x)"の導関数は、
y'＝{f(x)＋g(x)}'＝f'(x)＋g'(x)

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