・ｙ＝mx＋n　－①
・ｙ＝m'x＋n'　－②

この２つの直線が、座標上で平行であるための条件をみてみましょう。

わかりやすくするために、

・ｙ＝２ｘ
・ｙ＝２ｘ＋１

という２つの直線で考えることにします。
この２つの直線を図にすると、次のようになります。



"ｙ＝２ｘ"と"ｙ＝２ｘ＋１"の関係を考えてみます。
"ｙ＝２ｘ"をｙ軸方向に１平行移動したものが"ｙ＝２ｘ＋１"ですね。平行移動したわけですから当然、２つの直線は平行の関係にあります。

では、この２つの直線の式をみて、平行であるための条件を探してみます。
"ｙ＝２ｘ"と"ｙ＝２ｘ＋１"、なにが変わったかというと、ｘの係数(つまり直線の傾き)がそのままでｙ切片の値が変化していますね。(ｙ切片とは)。つまりｙ切片の値に関係なく、傾きが同じであればよいということですね。

これを"ｙ＝mx＋n"と"ｙ＝m'x＋n"で考えたとき、２つの直線が平行であるためには、２直線の傾きが同じである必要があります。

つまり、"ｍ＝ｍ'"のとき、①と②の直線が平行になるといえます。